Soluciones a los problemas del segundo recuperatorio, hechas a vuelapluma y sin tanto detalle.

Quit;

Problema 1:

Hay que analizar caso por caso cuáles momentos pueden contribuir a la radiación. 

Por simetría, el momento cuadrupolar es cero, sea cual sea la orientación de la esfera y el modo en que gire:  si el origen se elije en el centro de la esfera, para cada carga +dq en (OverVector[r]) hay una -dq en   -(OverVector[r]). Pero como en la expresión del momento cuadrupolar solo entran  las coordenadas al cuadrado, las dos contribuciones se anulan entre sí.

En el primer caso el momento dipolar eléctrico no cambia, siempre está en z y es fijo. El momento dipolar magnético es nulo, porque la semiesfera superior da una contribución que se cancela con la inferior: para cada carga +dq en (OverVector[r]) hay una -dq en -(OverVector[r]) que se mueve con la misma velocidad, por lo tanto las contribuciones al momento magnético se cancelan entre sí. Entonces en el punto (a), hasta orden dipolar magnético (y cuadrupolar eléctrico) no hay radiación.

En el segundo caso, el momento dipolar eléctrico tampoco cambia con el tiempo, pero el dipolar magnético ahora ya no es nulo y su variación con el tiempo tampoco. Cada semiesfera contribuye del mismo modo al momento total, Se tiene

eϕ [θ_, ϕ_]:= {-Sin[ϕ], Cos[ϕ], 0};
er[θ_, ϕ_]:= {Cos[ϕ] Sin[θ], Sin[ϕ] Sin[θ], Cos[θ]};           (* Defino los versores *)
eθ[θ_, ϕ_]:= {Cos[ϕ] Cos[θ], Sin[ϕ] Cos[θ], -Sin[θ]};

ω[t_]:= ω0 Cos[α t];
v[r_, θ_, ϕ_]:= ω[t] r Sin[θ] eϕ[θ, ϕ];         (* la velocidad y la posición *)
R[r_, θ_, ϕ_]:= r er[θ, ϕ];

m1 = (1/(2c))Integrate[ρ Cross[R[r, θ, ϕ], v[r, θ, ϕ]]   ((r^2) Sin[θ]), {ϕ, 0 ,2π}, {θ, 0, π/2}, {r, 0, a}] (*La contribución de la semiesfera superior*)
m2 = (1/(2c))Integrate[-ρ Cross[R[r, θ, ϕ], -v[r, θ, ϕ]]   ((r^2) Sin[θ]), {ϕ, 0 ,2π}, {θ, π/2, π}, {r, 0, a}] (*La contribución de la semiesfera inferior*)
m1 /(((2π)/3) ρ (a^3)) (*Dividiendo por la carga de una semiesfera*)

Entonces, el momento magnético total está en z y vale m= ((4 (a^5) π ρ ω0 Cos[t α])/(15 c))= (2/5)Q (((a^2) ω0 Cos[t α])/c), donde Q es la carga de la semiesfera superior. El campo eléctrico y el campo magnético salen de la segunda derivada de m, evaluando en el tiempo retardado. 

Para el tercer ítem hay que notar que el momento dipolar magnético vuelve a anularse por la misma razón que en el ítem (a). Pero ahora el momento dipolar eléctrico rota con la esfera. Para calcular el momento dipolar eléctrico uno puede elegir los ejes de cualquier manera conveniente, todo lo que habrá que hacer luego es incluir la dependencia temporal y reorientar los ejes. Así, uno puede calcular (OverVector[p]) con la esfera orientada así

p1 = Integrate[ρ R[r, θ, ϕ]  ((r^2) Sin[θ]), {ϕ, 0 ,2π}, {θ, 0, π/2}, {r, 0, a}] (*La contribución de la semiesfera superior*)
p2 = Integrate[-ρ R[r, θ, ϕ]  ((r^2) Sin[θ]), {ϕ, 0 ,2π}, {θ, π/2, π}, {r, 0, a}] (*La contribución de la semiesfera inferior*)

El módulo del momento dipolar total es p = (1/2)(a^4)π ρ =(3/4)a Q . Ahora, volteando la esfera y eligiendo el eje de rotación como en la figura

el momento dipolar será un vector que rota en el plano xy: (OverVector[p])= p {Cos[(Subscript[ω, 0]) t], Sin[(Subscript[ω, 0]) t], 0}. Aquí ya solo resta escribir los campos y la potencia del modo habitual. 

La siguiente figura [hay que ejecutar todo el cuadro de comandos] permite ver la polarización del campo eléctrico variando θ y ϕ

vϕ[ϕ_]:=  {-Sin[ϕ], Cos[ϕ], 0};
vr[θ_, ϕ_]:= {Cos[ϕ] Sin[θ], Sin[ϕ] Sin[θ], Cos[θ]};
vθ[θ_, ϕ_]:= {Cos[θ] Cos[ϕ], Cos[θ] Sin[ϕ], -Sin[θ]};
p[t_]:= {Cos[ω t], Sin[ω t], 0};
e[θ_, ϕ_, t_]:= Cross[vr[θ, ϕ], Cross[vr[θ, ϕ], p''[t]]];
e[θ_, ϕ_, t_]:= Cross[vr[θ, ϕ], p''[t]];
ring = ParametricPlot3D[{vϕ[ϕ], vr[θ, ϕ]}, {ϕ, 0, 2π}, Mesh-> False, PlotStyle->{{Opacity[1]}}];
esf = ParametricPlot3D[{vr[θ, ϕ]}, {θ, 0, π}, {ϕ, 0, 2π}, Mesh-> False, PlotStyle->{{Opacity[.3]}}];
ω = 1;
Manipulate[Show[esf, ring, ParametricPlot3D[vr[θ, ϕ] +1/10 e[θ, ϕ, t], {t, 0, 2π}, PlotPoints-> 5,   AspectRatio-> Automatic, PlotRange-> All], Boxed-> False, Axes-> False],{{θ, 0}, -π, π, 1/100}, {{ϕ, -(π/4)}, -2π, 2π, 1/100}]

Problema 2:

Quit

Este problema está en el capítulo 14 del Jackson. Para la primera parte solo hay que calcular la aceleración y usar la fórmula de la potencia de Larmor relativista, teniendo en cuenta que aceleración y velocidad son perpendiculares:

a = ((q β B)/(m  γ)); (*La aceleración*)
P = FullSimplify[(2/3)((q^2)/(c^3))(γ^6) (((((a/c)))^2)- ((((a/c)β))^2)) /. {β->(Sqrt[ 1-(1/(γ^2))])}]  (*Calcula la potencia escribiendo β en términos de γ*)

Para calcular como varía γ con el tiempo (cosa que uno asume que ocurre muy lentamente, tal como se hizo al ver la caída de la partícula al centro de fuerzas en uno de los problemas de la guía) lo que puede hacerse es relacionar la potencia emitida con la variación de energía 

dE/dt = - P
(mc^2) dγ/dt = -P;

usando también la aproximación γ>> 1, resulta

FullSimplify[Solve[γ == DSolve[{γ'[t] == - (P /. -1+(γ^2)-> ((γ[t])^2))  , γ[0] ==  γ0}, γ[t], t][[1]][[1]][[2]], t]]     (*Resuelve la ec. dif. y despeja t*)

Simplify[%[[1]][[1]][[2]]/ ((1/(γ ))-(1/(γ0)))]

de ahí se lee la constante buscada α = ((3 (c^5) (m^2) )/(2 (B^2) (q^4) )). El último ítem es muy similar: ahora la potencia es no relativista, y lo que hay que buscar es una ecuación para la energía cinética T = (1/2)m (v^2).

Se tiene P = (2/3)((q^2)/(c^3))((((a/c)))^2) =  (2/3)((q^2)/(c^3))(((((q v B)/(c^2))))^2) = (4/3)(((q^4)(B^2))/(m (c^5)))(((mv^2)/2)), y la ecuación diferencial para T es

dT/dt = - P = - λ T), donde λ = (4/3)(((q^4)(B^2))/(m (c^5))). Luego T[t] = (Subscript[T, 0]) Exp[-λ t].

Problema 3:

Quit;

Hay que plantear las condiciones de contorno en las dos interfases. Todos los campos eléctricos son paralelos a las interfases, y los campos magnéticos se obtienen con el producto vectorial (OverVector[k])× (OverVector[E]). Además, los ángulos de incidencia y transmisión [θ y  θ', respectivamente] están relacionados por la ley de Snell usual. 

Eligiendo el origen de coordenadas sobre la interfase ϵϵ', y definiendo α = k' d Cos[θ'], con k' = (ω/c)(Sqrt[ϵ']), queda este sistema de ecuaciones

Ec1 = {ei + er == e1 + e2}; (*Conservación de la componente tangencial de E en la primera interfase*)
Ec2 = {(Sqrt[ϵ])(ei Cos[θ] - er Cos[θ]) == (Sqrt[ϵp])(e1 Cos[θp] - e2 Cos[θp]) }; (*Conservación de la componente tangencial de H en la primera interfase*)
Ec3 = {e1 Exp[I α]  + e2 Exp[-I α] == 0};  (*Conservación de la componente tangencial de E en la segunda interfase*)

las ecuaciones para la conservación de las componentes tangenciales de H en las dos interfases no dan información nueva. La solución del sistema es (poniendo ei = 1)

TrigReduce[FullSimplify[Solve[Join[Ec1, Ec2, Ec3] /. ei -> 1, {e1, e2, er}]]]

Se ve que, respecto del campo incidente, la amplitud del campo reflejado es meramente una  fase (dejando de lado el cambio de dirección). Así, las intensidades incidentes y reflejadas con las mismas.